Dômes géodésiques: géométrie et vocabulaire (2)

Choisir son modèle

Polyèdre de base: octaèdre ou icosaèdre? Peut être là une question d'esthétique ou de vibrations: l'octaèdre rythme sur le nombre 4, l'icosaèdre sur le 5. L'octaèdre ayant moins d'arêtes, il faudra une fréquence plus élevée que pour un icosaèdre de même taille.

Fréquence de sous-division? Selon la taille pour limiter la longueur des montants Octa F2 ou Icosa F2 pour un petit dôme inférieur à 4 m de diamètre, octa F3 ou icosa F2 jusqu'à 6-7 m, icosa F3 ou octa F4 pour 7 à 12 m, icosa F4 au delà (100 m2 de base et plus). (les plus grands dômes autoconstruits à structure bois que j'ai pu voir avaient 15 à 16 m de diamètre).

Où le couper? on ne va pas garder la sphère complète mais plutôt une demi-sphère ou à peu près, des cercles de montants vont se présenter comme plans de section naturels. Pour l'octaèdre et l'icosaèdre F2 et F4, un des ces plans passe à l'équateur et permet d'obtenir une 1/2 sphère. Pour l'icosaèdre F3, il n'y a pas de montants au niveau de l'équateur; il faut choisir de couper un peu au-dessus de l'équateur (3/8e de sphère) ou un peu en dessous (5/8e de sphère). Ce dernier modèle est très beau (un des plus fréquemment construit). Mais on peut aussi garder une couronne de plus (3/4 de sphère) avec l'icosaèdre ou même l'octaèdre, ce qui donne un dôme plus haut et plus élancé (la base rentre)

Icosaèdre Fréquence 3               3/8e de sphère et 5/8e de sphère

Calculer les dimensions et angles de ses montants

rien de plus simple: multiplier le facteur de corde de chaque groupe de montants par le rayon choisi et noter l'angle axial.
Il s'agit là de longueurs théoriques que l'on pourra ajuster en pratique (voir "construction").

Combien ?

La structure se compose de montants reliés par des éléments formant des noeuds. Ils servent à maintenir les montants en position et à transmettre les forces en les divisant et répartissant entre les différents montants qui se rejoignent à ce noeud.

Nombre de montants et noeuds

Octaèdre Montants              A      B      C      D       E       F        Noeuds Freq 2 - 1/2         16     12                                             13 Freq 3 - 3/8          4     8     16                                   13 Freq 3 - 1/2        16     20       24                                    25 Freq 3 - 5/8        20     28      40                                    33 Freq 4 - 3/8         4      4      16      16      12       8           25 Freq 4 - 1/2        16     12      24      24     12      16           41 Freq 4 - 5/8        20     20      40      32     16      16           53                 Freq 4 - 3/4        20     20      40      48     24      20           61

Icosaèdre Montants              A      B      C      D       E       F        Noeuds Freq 2 - 1/2         30      35                                          26 Freq 3 - 3/8         30      40     50                                  46 Freq 3 - 5/8         30      55     80                                  61 Freq 3 - 3/4         50      65     90                                  76 Freq 4 - 3/8         30      30     50     40     20     20           71 Freq 4 - 1/2         30      30     60     70     30     30           91 Freq 4 - 5/8         30      35     80     80     35     40          111 Freq 4 - 3/4         50      45     90     90     35     50          131

Pour l'octaèdre il y aura 1 noeud à 4 branches (le sommet) pour les coupes à 3/8e et 5 dans les autres configurations et des noeuds à 6 branches, pour l'icosaèdre 6 noeuds à 5 branches (et 11 pour les 3/4 de sphère) et le reste à 6 branches. Au plan de coupe, certains noeuds seront coupés, soit pour l'octaèdre: F2 , F3 , F4- 1/2 sphère: 4 noeuds à 4 branches et comme noeuds à 6 branches, 4 seront modifiés (F2) ou 8 (F3) ou 12 (F4) F3 et F4- 3/8e et 5/8e: seulement 8noeuds à 6 branches (F3) ou 12(F4) F4- 3/4: seulement 8 noeuds à 6 branches et pour l'icosaèdre: F3 et F4- 3/4: 5 noeuds à 5 branches et 10 à 6 branches (F3) ou 15 (F4) F2, F3, F4- autres configurations: seulement des noeuds à 6 branches soit 10 (F2), 15 (F3) ou 20 (F4)

Encore un détail

Voici un détail dont on ne parle jamais. Sauf si l'on sectionne la sphère à l'équateur (1/2) la base n'est pas parfaitement plane.
On s'en aperçoit au montage quand on a préparé un support plan et qu'après avoir forcé pour mettre en place les derniers montants, certains pieds décollent de quelques centimètres. Au lieu de bien se poser sur sa base, le dôme ne repose plus que sur quelques noeuds. Il faut alors improviser des cales et sauf à le démonter et faire quelques retouches (mais lesquelles?), il restera ainsi. On peut faire mieux en modifiant les dimensions de certains montants.

Avec les retouches suivantes, tous les sommets se retrouveront sur une sphère sur un cercle plan de rayon r. Le sommet du dôme sera à la hauteur H.

Octaèdre     (R de la sphère à l'équateur = 1) F3- 3/8e de sphère: les 16 montants C seront remplacés par 8 C1 qui formeront la base horizontale et par 8 C2     C1= 0,6846      C2 = 0,7964         r = 0,8944       H=0,553 F3- 5/8e: remplacer 16 C par 8 C1 à la base et 8 C2     C1= 0,6846       C2 = 0,5391          r = 0,8944       H=1,447 F4- 3/8e: 12 arêtes à la base ...C1 E C1 C1 E C1...     8 C sont remplacés par 8 C1   C1 =0,4195            r =0,9129         4 F ---> 4 F1     F1 = 0,3628                       H=0,592 F4- 5/8e     base ....C1 E C1 C1 E....     4 A1 à la place de 4 A        A1= 0,4174                       8 B1 à la place de 8 B         B1= 0,5176                  r = 0,9129     8 C1 à la place de 8 C         C1= 0,4195                  H = 1,408 F4- 3/4:     base de 8 D1      D1= O,5412       E1 = 0,4449       r = 0,7071         H = 1,707

Icosaèdre   F3- 3/8e de sphère:                base: ...C1C1BC1C1.... 10 C    ---->    10 C1 (horizontal)    C1= 0,4127         r = 0,985        10 C    ---->    10 C2(oblique)         C2= 0,4262        H= 0,828 F3- 5/8e                                    base: ...C1C1BC1C1.... 10 C    ---->    10 C1 (horizontal)      C1= 0,4127       r = 0,985       10 C    ---->    10 C2 (oblique)         C2= 0,3987       H= 1,172 F3- 3/4 10 A     ---->    10 A1 (horizontal)     C' = 0,3328     r = 0,857      10 A     ---->    10 A2 (oblique)         C2 = 0,4123       H= 1,515 F4- 3/8e: : 10 C   ---->    10 C1 (horizontal)      C1= 0,2956     10 C   ---->   10 C2 (oblique)         D1 = 0,2908           r = 0,961 10 D     ---->  10 D1 (oblique)         E1 = 0,3026         H= 0,749 F4- 5/8e 10 C ---->    10 C1 (horizontal)      C1 = 0,2956      10 D ---->   10 D1 (oblique)       D1= 0,2908             r = 0,961 10 E ----->   10 E1 (oblique)      E1 = 0,3026            H = 1,251 F4- 3/4: 10 A ---> 10 A1 (horizontal)       A1 = 0,2412   10 A---> 10   A2 (oblique)          A2 = 0,3055 10 D---> 10 D1 (oblique)            D1 = 0,3050             r = 0,865 10 F ---> 10 F1 (horizontal)          F1 = 0,2954            H= 1,502

Autre modification :Angle axial

Si la dimension d'une arête est modifiée, l'angle axial change aussi. Cependant le respect de cet angle n'est pas très important dans la pratique d'une construction artisanale et les outils utilisés insuffisamment précis. Aussi ne sont donnés que les angles qui ont changé de plus de 2 degrès.

Il n'y a pas de changements dans les diverses sections de l'icosaèdre

Pour l'octaèdre
F3- 3/8e            C2        Axial = 66,5°
F3- 5/8e            C2        Axial = 74,4°
F4- 3/8e            F1        Axial = 79,5°          
F4- 5/8e           A1         Axial  = 78°             B1    Axial  = 75°
F4- 3/4              E1          Axial = 77°

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