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Arithmétique
Ce nombre
possède (entre autre)
la propriété; arithmétique unique et
curieuse
de se situer par rapport au nombre 1 de telle sorte que
si on lui ajoute 1 on
l'élève au carré
si on lui retranche1 on obtient son inverse
Soit 
la progression géométrique
de raison 
Elle peut s'exprimer en fonction de soit
1/(5+3) 1/(3+2) 1/(2+1)
1/(+1) ( 1/)
1 (
+1) ( 2+1) (3+2)
(5+3)
dans la
progression ascendante et descendante
à partir de 1,
on retrouve les termes de la série de
Fibonacci (dans laquelle chaque terme est la somme des deux
précédents)
décalés de un rang pour le multiple de
et le terme qui s'y ajoute ou
=  + et 1
/= 1 /( +)
avecle terme de la série de Fibonacci
de rang
n
Série de Fibonacci1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
dont
le rapport entre 2 termes successifs tend versd'autant
plus que n augmente
89 / 55 = 1,61818
Et bien d'autres curiosités qui feront dire que
sera considéré comme le nombre cosmique de la
perpétuation.
Egypte
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Les
anciens égyptiens connaissaient-ils le nombre d'or? Est-il
contenu dans les proportions de la pyramide de Khéops?
Il est
difficile de le savoir par la mesure, ses dimensions étant
aujourd'hui un peu différentes de l'origine, ce
bâtiment ayant à l'occasion servi de
carrière de pierres.
Cependant, il nous reste le témoignage de Héodote
qui, avec un long sé;jour en Egypte, a reçu
quelques bribes de connaissances sous la forme de cette
énigme mathématique:
"la surface de chaque face triangulaire est la même que celle
d'un carré; dont les côtés seraient
égaux à la hauteur de la pyramide"
Enigme
que l'on peut résoudre facilement: la pyramide a une base
carrée de côté 2, sa hauteur est H, a est l'apothème ou hauteur du
triangle d'une face.
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Géométrie
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est
relié; au nombre 5 (par
sa racine) mais aussi aux figures géométriques
planes ou spatiales présentant une symétrie
d'ordre 5 ou multiple de 5 (pentagone, décagone,
icosaèdre, dodécaèdre,
triacontaèdre,...)
Construction
du nombre d'or
Deux
carrés accolés de côté 1
forment le rectangle ABCD de côtés 1 et 2. La
diagonale AC coupe le coté commun des carrés en
son milieu. Avec ce point pour centre, on trace le cercle de
diamètre 1 qui coupa AC en M et N.
On pourra démontrer que
AM = 1
/
AN =
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Pentagones
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Comment
tracer un pentagone avec seulement la règle et le compas? Ce
n'est pas évident.Voila une méthode
On trace
un cercle de centre O et deux diamètres
perpendiculaires. I est le milieu du rayon OD.
Un cercle
de centre I et de rayon IA coupe OB en J. Un cercle de centre A et de
rayon AJ coupe le cercle initial en E et F. Les point A, E et F sont 3
sommets d'un pentagone
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également:
deux cercles de rayon 1 dont les centres sont
séparés de la distance se coupent selon une corde
côté du pentagone convexe
deux cercles de rayon 1 dont les centres sont
séparés de la distance 1/ se coupent selon une corde
ccôté du pentagone étoilé
Le
côté du pentagone convexe mesure  Le
côté du pentagone étoilé
mesure 
Le rapport des deux est
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Décagones
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De
même pour les décagones
La mesure
du côté; du décagone convexe vaut 1 / = -1
La mesure
du côté du décagone
étoilé vaut
Et une
règle générale pour pentagones et
décagones: si la distance des centres de rayon 1 est le
côté du polygone convexe, la corde commune est le
côté de l'autre polygone
étoilé et inversement.
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Icosaèdre
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Polyèdre
régulier composé
de 20 (4 x 5) triangles équilatéraux
Il
contient 3 rectangle d'or (proportions 1 et perpendiculaires (c'est une
façon de le construire)
Si la
sphère circonscrite a un rayon de 1, l'arète de
l'icosaèdre vaut  = 1,051
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Dodécaèdre
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Composé
de 12 pentagone, le dodécaèdre
régulier, dual de l'icosaèdre, porte le nombre
d'or
Si 1 est la longueur de l'arète, le
diamètre de la sphère circonscrite vaut
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Triacontaèdre
rhombique (ou zome 5)
Nombre d'or dans la nature
| Spirales logarythmiques chez le nautile, la
fleur du tournesol et la pomme de pin |
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